MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: cos⁡5x tan⁡(6∣x∣)+sin⁡5x=0\cos 5x\,\tan\bigl(6|x|\bigr)+\sin 5x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rearanjaţi ca tan⁡(6∣x∣)=−sin⁡5xcos⁡5x=−tan⁡5x\tan\bigl(6|x|\bigr)=-\dfrac{\sin 5x}{\cos 5x}=-\tan 5x, observând că nu pot apărea soluţii când cos⁡5x=0\cos 5x=0 (atunci ecuaţia nu este satisfăcută).
24 puncte
Folosiţi periodicitatea tangentei: tan⁡A=−tan⁡B  ⟺  A=−B+kπ\tan A= -\tan B\iff A=-B+k\pi, deci 6∣x∣=−5x+kπ6|x|=-5x+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Rezolvaţi separat cazurile x≥0x\ge0 şi x<0x<0. Pentru x≥0x\ge0 avem 6x=−5x+kπ⇒11x=kπ⇒x=kπ116x=-5x+k\pi\Rightarrow 11x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{11}, k≥0k\ge0. Pentru x<0x<0 avem −6x=−5x+kπ⇒−x=kπ⇒x=−kπ-6x=-5x+k\pi\Rightarrow -x=k\pi\Rightarrow x=-k\pi, cu k≥1k\ge1.
33 puncte
Concluzie: mulţimea soluţiilor este {x=kπ11∣k∈Z, k≥0}∪{x=−kπ∣k∈N}\left\{x=\dfrac{k\pi}{11}\mid k\in\mathbb{Z},\ k\ge0\right\}\cup\{x=-k\pi\mid k\in\mathbb{N}\}; menţionaţi excluderea valorilor pentru care tan⁡(6∣x∣)\tan(6|x|) nu este definit (nu apar în soluţiile obţinute).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.