MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡x+sin⁡2x=tan⁡x\sin x+\sin 2x=\tan x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x şi scrieţi ecuaţia ca sin⁡x(1+2cos⁡x)=sin⁡xcos⁡x\sin x(1+2\cos x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Multiplicați cu cos⁡x\cos x pentru a obţine sin⁡xcos⁡x(1+2cos⁡x)=sin⁡x\sin x\cos x(1+2\cos x)=\sin x.
24 puncte
Factorizaţi: sin⁡x(cos⁡x(1+2cos⁡x)−1)=0\sin x\left(\cos x(1+2\cos x)-1\right)=0. Din aceasta rezultă fie sin⁡x=0\sin x=0, fie 2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x+\cos x-1=0.
33 puncte
Din sin⁡x=0\sin x=0 obţineţi x=kπx=k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Din ecuaţia pentru cosinus: 2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x+\cos x-1=0 rezultă discriminant Δ=9\Delta=9, deci cos⁡x=−1±34\cos x=\dfrac{-1\pm3}{4}, adică cos⁡x=12\cos x=\dfrac{1}{2} sau cos⁡x=−1\cos x=-1. Valoarea cos⁡x=−1\cos x=-1 este inclusă în cazurile x=kπx=k\pi. Pentru cos⁡x=12\cos x=\dfrac{1}{2} avem x=±π3+2kπx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi. În concluzie mulțimea soluțiilor: x=kπx=k\pi şi x=±π3+2kπx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.