MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: cos⁡22x+cos⁡24x−sin⁡26x−sin⁡28x=0\cos^2 2x + \cos^2 4x - \sin^2 6x - \sin^2 8x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta pentru cei doi termeni cu sinus: ecuaţia devine cos⁡22x+cos⁡24x+cos⁡26x+cos⁡28x=2\cos^2 2x+\cos^2 4x+\cos^2 6x+\cos^2 8x=2.
24 puncte
Folosiţi cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2} şi sumaţi: (4+cos⁡4x+cos⁡8x+cos⁡12x+cos⁡16x)/2=2(4+\cos4x+\cos8x+\cos12x+\cos16x)/2=2, de unde cos⁡4x+cos⁡8x+cos⁡12x+cos⁡16x=0\cos4x+\cos8x+\cos12x+\cos16x=0. Grupând perechi şi folosind formule de sumă obţineţi factorul comun: 4cos⁡10xcos⁡4xcos⁡2x=04\cos10x\cos4x\cos2x=0, deci cos⁡2xcos⁡4xcos⁡10x=0\cos2x\cos4x\cos10x=0.
33 puncte
Scrieţi soluţiile: cos⁡2x=0⇒x=π4+kπ2\cos2x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}; cos⁡4x=0⇒x=π8+kπ4\cos4x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{8}+\tfrac{k\pi}{4}; cos⁡10x=0⇒x=π20+kπ10\cos10x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{20}+\tfrac{k\pi}{10}, k∈Zk\in\mathbb{Z}. (Se menţionează că pot apărea suprapuneri între aceste familii, care se pot unifica dacă se doreşte.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.