MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Exprimați sin⁡6α+cos⁡6α\sin^6\alpha+\cos^6\alpha în funcție de mm, dacă sin⁡α+cos⁡α=m\sin\alpha+\cos\alpha=m.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea a6+b6=(a2+b2)3−3a2b2(a2+b2)a^6+b^6=(a^2+b^2)^3-3a^2b^2(a^2+b^2) pentru a=sin⁡α,b=cos⁡αa=\sin\alpha,b=\cos\alpha. Deoarece sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 rezultă sin⁡6α+cos⁡6α=1−3sin⁡2αcos⁡2α\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha.\n
24 puncte
Exprimarea produsului: din m2=(sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡αm^2=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha deducem sin⁡αcos⁡α=m2−12\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{m^2-1}{2}, deci sin⁡2αcos⁡2α=(m2−1)24\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\dfrac{(m^2-1)^2}{4}.\n
33 puncte
Înlocuiți şi simplificați: sin⁡6α+cos⁡6α=1−3⋅(m2−1)24=1−34(m2−1)2\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\cdot\dfrac{(m^2-1)^2}{4}=1-\dfrac{3}{4}(m^2-1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.