Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log3x(3x)+(log3x)2=1\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right) + (\log_3 x)^2 = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm u=log3xu=\log_3 x. Folosiţi descompunerea log3x(3x)=log3x3log3xx\log_{3x}\left(\dfrac{3}{x}\right)=\log_{3x}3-\log_{3x}x. Calculaţi log3x3=11+u\log_{3x}3=\dfrac{1}{1+u} şi log3xx=u1+u\log_{3x}x=\dfrac{u}{1+u}, deci primul termen este 1u1+u\dfrac{1-u}{1+u}.
25 puncte
Introduceţi în ecuaţie: 1u1+u+u2=1\dfrac{1-u}{1+u}+u^2=1. Multiplicaţi cu 1+u1+u şi obţineţi polinomul u3+u22u=0u^3+u^2-2u=0, adică u(u+2)(u1)=0u(u+2)(u-1)=0.
32 puncte
Rezultă u{0,2,1}u\in\{0,-2,1\}, deci x=3u{1,32=1/9,3}x=3^u\in\{1,3^{-2}=1/9,3\}. Verificaţi condiţiile de definiţie (x>0x>0, 3x13x\neq1) şi acceptaţi toate cele trei soluţii: x{1,1/9,3}x\in\{1,1/9,3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.