MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația tan⁡5x+2sin⁡10x=5sin⁡5x\tan 5x + 2\sin 10x = 5\sin 5x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Folosiţi sin⁡10x=2sin⁡5xcos⁡5x\sin10x=2\sin5x\cos5x şi rescrieţi ecuaţia ca tan⁡5x+4sin⁡5xcos⁡5x=5sin⁡5x\tan5x+4\sin5x\cos5x=5\sin5x.
24 puncte
Înlocuiţi tan⁡5x=sin⁡5xcos⁡5x\tan5x=\dfrac{\sin5x}{\cos5x} şi multiplicaţi cu cos⁡5x\cos5x (având grijă să nu fie cos⁡5x=0\cos5x=0), obţineţi sin⁡5x (1+4cos⁡25x−5cos⁡5x)=0\sin5x\,(1+4\cos^2 5x-5\cos5x)=0.
34 puncte
Din prima factorizare sin⁡5x=0⇒x=kπ5\sin5x=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{5}, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Din a doua se obţine ecuaţia 4cos⁡25x−5cos⁡5x+1=04\cos^2 5x-5\cos5x+1=0 cu soluţii cos⁡5x=1\cos5x=1 sau cos⁡5x=14\cos5x=\dfrac{1}{4}. Astfel cos⁡5x=1⇒x=2kπ5\cos5x=1\Rightarrow x=\dfrac{2k\pi}{5} (incluse în parte în soluţiile anterioare) şi cos⁡5x=14⇒5x=±arccos⁡ ⁣(14)+2kπ\cos5x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 5x=\pm\arccos\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+2k\pi, deci x=±15arccos⁡ ⁣(14)+2kπ5x=\pm\dfrac{1}{5}\arccos\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{2k\pi}{5}, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificaţi că nu apar cazuri cu tan⁡5x\tan5x nedefinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.