MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 2(1−cos⁡2x)=3 tan⁡x2(1-\cos 2x)=\sqrt{3}\,\tan x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniu: cos⁡x≠0\cos x\neq0 pentru termenul tan⁡x\tan x; observăm totuşi că verificăm şi cazul sin⁡x=0\sin x=0 separat.
22 puncte
Folosim identitatea 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^{2}x, obţinând 4sin⁡2x=3sin⁡xcos⁡x4\sin^{2}x=\sqrt{3}\dfrac{\sin x}{\cos x}.
33 puncte
Multiplicăm cu cos⁡x\cos x: 4sin⁡2xcos⁡x=3sin⁡x4\sin^{2}x\cos x=\sqrt{3}\sin x. Dacă sin⁡x=0\sin x=0 se obţine soluţia x=kπx=k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Pentru sin⁡x≠0\sin x\neq0 împărţim prin sin⁡x\sin x şi obtinem 4sin⁡xcos⁡x=3⇒2sin⁡2x=34\sin x\cos x=\sqrt{3}\Rightarrow 2\sin 2x=\sqrt{3}.
44 puncte
Rezultă sin⁡2x=32\sin 2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci 2x=π3+2kπ2x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi sau 2x=2π3+2kπ2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi. Prin urmare x=π6+kπx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi sau x=π3+kπx=\dfrac{\pi}{3}+k\pi. Concluzie finală: x=kπx=k\pi, x=π6+kπx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi sau x=π3+kπx=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}; se verifică compatibilitatea cu domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.