MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați inegalitatea: log⁡5x+log⁡x ⁣(x3)<log⁡5x⋅(2−log⁡3x)log⁡3x\log_{5}x+\log_{x}\!\left(\dfrac{x}{3}\right)<\dfrac{\log_{5}x\cdot\left(2-\log_{3}x\right)}{\log_{3}x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: x>0x>0, x≠1x\neq1 (baza logaritmului log⁡x\log_{x} nu poate fi 11).
24 puncte
Folosim log⁡x ⁣(x3)=1−log⁡x3=1−1log⁡3x\log_{x}\!\left(\dfrac{x}{3}\right)=1-\log_{x}3=1-\dfrac{1}{\log_{3}x} şi scriem log⁡5x=log⁡3xlog⁡35\log_{5}x=\dfrac{\log_{3}x}{\log_{3}5}. Punem a=log⁡3xa=\log_{3}x şi k=log⁡35>0k=\log_{3}5>0. Inegalitatea devine ak+1−1a<2−ak\dfrac{a}{k}+1-\dfrac{1}{a}<\dfrac{2-a}{k}.
34 puncte
Simplificăm pentru a≠0a\neq0; obţinem 2(a−1)k+1−1a<0\dfrac{2(a-1)}{k}+1-\dfrac{1}{a}<0. Tratăm cazurile a>0a>0 şi a<0a<0 (având în vedere a=0⇔x=1a=0\Leftrightarrow x=1 exclus). Pentru a>0a>0 rezultă 0<a<10<a<1. Pentru a<0a<0 rezultă a<−k2a<-\dfrac{k}{2}. Revenind la xx: log⁡3x<−log⁡352⇒x<5−1/2=15\log_{3}x< -\dfrac{\log_{3}5}{2}\Rightarrow x<5^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, respectiv 0<x<150<x<\dfrac{1}{\sqrt{5}}, şi 0<x<10<x<1 cu log⁡3x∈(0,1)⇒1<x<3\log_{3}x\in(0,1)\Rightarrow 1<x<3. Astfel soluţia este x∈(0,15)∪(1,3)x\in(0,\dfrac{1}{\sqrt{5}})\cup(1,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.