MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{x+y=2π3sin⁡xsin⁡y=2\begin{cases} x+y=\dfrac{2\pi}{3} \\ \dfrac{\sin x}{\sin y}=2 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Punem y=2π3−xy=\dfrac{2\pi}{3}-x şi exprimăm sin⁡y=sin⁡(2π3−x)=32cos⁡x+12sin⁡x\sin y=\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}-x\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\tfrac{1}{2}\sin x. Raportul devine [\dfrac{\sin x}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\tfrac{1}{2}\sin x}=2.] \
26 puncte
Înmulțind obținem sin⁡x=2(32cos⁡x+12sin⁡x)=3cos⁡x+sin⁡x\sin x=2\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\tfrac{1}{2}\sin x\bigr)=\sqrt{3}\cos x+\sin x, deci 3cos⁡x=0\sqrt{3}\cos x=0. Din aceasta rezultă cos⁡x=0\cos x=0, deci [x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.] Atunci y=2π3−(π2+kπ)=π6−kπy=\dfrac{2\pi}{3}-\bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)=\dfrac{\pi}{6}-k\pi, iar pentru aceste valori raportul are valoarea 22 (verificat), deci mulțimea soluțiilor este [\Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ \dfrac{\pi}{6}-k\pi\Bigr),\ k\in\mathbb{Z}.]

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.