MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații iraționale
Rezolvați ecuația tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡2x=2\tan x + \dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin 2x}} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea 1+sin⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)21+\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2, deci 1+sin⁡2x=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1+\sin 2x}=|\sin x+\cos x|. Excludeți punctele unde cos⁡x=0\cos x=0 sau sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 (nu sunt permise la împărțire).;
24 puncte
Tratați cele două cazuri de semn ale lui sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x. Dacă sin⁡x+cos⁡x>0\sin x+\cos x>0 atunci ecuația devine sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x=2\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}=2, după înmulțirea cu cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x)\cos x(\sin x+\cos x) se obține ecuația pentru t=tan⁡xt=\tan x: t2−t−1=0t^2-t-1=0, cu soluții t=1±52t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}. Dacă sin⁡x+cos⁡x<0\sin x+\cos x<0 semnul celui de-al doilea termen se inversează și se obține t2−t−3=0t^2-t-3=0, cu soluții t=1±132t=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}.;
33 puncte
Scrieți soluțiile generale: pentru fiecare rădăcină tt avem x=arctan⁡t+kπx=\arctan t+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}, având grijă să păstrați doar acele clase modul π\pi pentru care condiția de semn a lui sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x (pozitivă sau negativă, în funcție de caz) este îndeplinită şi pentru care cos⁡x≠0\cos x\neq0 şi sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x+\cos x\neq0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.