MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: 2(log⁡2−1)+log⁡(5x+1)=log⁡(51−x+5)2(\log 2 - 1) + \log(5^{\sqrt{x}} + 1) = \log(5^{1-\sqrt{x}} + 5).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că putem nota t=5xt=5^{\sqrt{x}} cu t>0t>0. Atunci 51−x=5⋅t−15^{1-\sqrt{x}}=5\cdot t^{-1}. Înlocuind în ecuație se obține 2(log⁡2−1)+log⁡(t+1)=log⁡bigl(5⋅(1+t−1)bigr)2(\log 2 -1)+\log(t+1)=\log\\bigl(5\cdot(1+t^{-1})\\bigr).
24 puncte
Folosim proprietăți ale logaritmilor: log⁡bigl(5(1+t−1)bigr)=log⁡5+log⁡(t+1)−log⁡t\log\\bigl(5(1+t^{-1})\\bigr)=\log 5 +\log(t+1)-\log t. Simplificând termenii log⁡(t+1)\log(t+1) rezultă 2(log⁡2−1)=log⁡(5)−log⁡t2(\log 2-1)=\log(5)-\log t. Echivalent: log⁡(5/t)=2log⁡2−2\log(5/t)=2\log 2-2. Observăm că 2log⁡2=log⁡42\log 2=\log 4 şi −2=log⁡10−2-2=\log 10^{-2}, deci log⁡(5/t)=log⁡(4⋅10−2)=log⁡(0.04)=log⁡(1/25)\log(5/t)=\log(4\cdot 10^{-2})=\log(0.04)=\log(1/25).
33 puncte
Rezultă 5/t=1/255/t=1/25 deci t=125t=125, adică 5x=535^{\sqrt{x}}=5^{3}, deci x=3\sqrt{x}=3 şi x=9x=9. Verificare: respectă condițiile de existență, deci soluția este x=9x=9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.