MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡x+7−log⁡2log⁡8−log⁡(x−5)=−1\dfrac{\log\sqrt{x+7}-\log 2}{\log 8-\log(x-5)}=-1

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: x+7≥0⇒x≥−7x+7\ge0\Rightarrow x\ge-7, şi x−5>0⇒x>5x-5>0\Rightarrow x>5. Deci x>5x>5. De asemenea argumentele logaritmilor trebuie să nu producă logaritm 0 în numitor: log⁡8x−5≠0⇒8x−5≠1⇒x≠13\log\dfrac{8}{x-5}\neq0\Rightarrow\dfrac{8}{x-5}\neq1\Rightarrow x\neq13.\n
23 puncte
Folosim proprietăţile: numărător =log⁡x+72=\log\dfrac{\sqrt{x+7}}{2}, numitor =log⁡8x−5=\log\dfrac{8}{x-5}. Relaţia devine log⁡x+72log⁡8x−5=−1  ⟺  log⁡8x−5x+72=−1\dfrac{\log\dfrac{\sqrt{x+7}}{2}}{\log\dfrac{8}{x-5}}=-1\iff\log_{\dfrac{8}{x-5}}\dfrac{\sqrt{x+7}}{2}=-1.\n
33 puncte
Din ultima egalitate rezultă x+72=(8x−5)−1=x−58\dfrac{\sqrt{x+7}}{2}=\left(\dfrac{8}{x-5}\right)^{-1}=\dfrac{x-5}{8}. Se obţine 4x+7=x−54\sqrt{x+7}=x-5.\n
42 puncte
Punem y=x+7≥0⇒x=y2−7y=\sqrt{x+7}\ge0\Rightarrow x=y^{2}-7. Ecuaţia devine 4y=y2−12⇒y2−4y−12=0⇒(y−6)(y+2)=04y=y^{2}-12\Rightarrow y^{2}-4y-12=0\Rightarrow(y-6)(y+2)=0. Valoarea admisă este y=6y=6, deci x=62−7=29x=6^{2}-7=29. Verificăm domeniul: 29>529>5 şi nu anulează numitorul; soluţia este x=29x=29.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.