MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡4(x3)+cos⁡4(x3)=58\sin^4\left(\frac{x}{3}\right) + \cos^4\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{5}{8}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea sin⁡4t+cos⁡4t=1−2sin⁡2tcos⁡2t=1−12sin⁡2(2t)\sin^4 t+\cos^4 t=1-2\sin^2 t\cos^2 t=1-\tfrac{1}{2}\sin^2(2t) pentru t=x3t=\frac{x}{3}, obținând 1−12sin⁡22x3=581-\tfrac{1}{2}\sin^2\frac{2x}{3}=\tfrac{5}{8}.
24 puncte
Calculați sin⁡22x3=34\sin^2\frac{2x}{3}=\tfrac{3}{4}, deci sin⁡2x3=±32\sin\frac{2x}{3}=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}; scrieți soluțiile generale pentru 2x3\frac{2x}{3}: 2x3=π3+2kπ, 2π3+2kπ, 4π3+2kπ, 5π3+2kπ\frac{2x}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\,\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\,\frac{5\pi}{3}+2k\pi.
33 puncte
Convertiți la xx: x=32(fiecare valoare de mai sus)x=\frac{3}{2}\left(\text{fiecare valoare de mai sus}\right), de exemplu x=π2+3kπ,  x=π+3kπ,  x=2π+3kπ,  x=5π2+3kπx=\frac{\pi}{2}+3k\pi,\;x=\pi+3k\pi,\;x=2\pi+3k\pi,\;x=\frac{5\pi}{2}+3k\pi, cu k∈Zk\in\mathbb{Z} (sau echivalent, mulțimea soluțiilor obținută prin multiplicarea fiecărei familii cu 32\tfrac{3}{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.