MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică în care suma termenilor extreme este 112112 și suma termenilor intermediari este 4848.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm termenii ca a,ar,ar2,ar3a,ar,ar^2,ar^3. Avem a+ar3=112a+ar^3=112 și ar+ar2=48ar+ar^2=48. Scriem a(1+r3)=112a(1+r^3)=112 și ar(1+r)=48ar(1+r)=48.
24 puncte
Din a doua ecuație a=48r(1+r)a=\dfrac{48}{r(1+r)} (dacă r(1+r)≠0r(1+r)\neq0). Înlocuind în prima obţinem 48r(1+r)(1+r3)=112\dfrac{48}{r(1+r)}(1+r^3)=112. Simplificăm: 48(1+r3)=112r(1+r)⇒3(1+r3)=7r(1+r)48(1+r^3)=112r(1+r)\Rightarrow 3(1+r^3)=7r(1+r), deci 3r3−7r2−7r+3=03r^3-7r^2-7r+3=0. Descompunem: o soluție este r=3r=3, iar apoi rezulta r=1/3r=1/3 (soluția r=−1r=-1 duce la expresii nedeterminate pentru suma mijlocie).
33 puncte
Pentru r=3r=3 rezultă a=483⋅4=4a=\dfrac{48}{3\cdot4}=4 și progresia 4,12,36,1084,12,36,108. Pentru r=1/3r=1/3 rezultă progresia inversă 108,36,12,4108,36,12,4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.