GreuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

GreuProgresii GeometricePolinoame
Suma celui de-al doilea și celui de-al optulea termen al unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu 325328\dfrac{325}{328}, iar suma celui de-al doilea și celui de-al șaselea termen, diminuată cu 6532\dfrac{65}{32}, este egală cu al patrulea termen al progresiei. Găsiți suma pătratelor termenilor progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm primul termen cu aa şi raţia cu rr (cu ∣r∣<1|r|<1). Condițiile se scriu: ar+ar7=325328a r + a r^7=\dfrac{325}{328} şi ar+ar5−ar3=6532a r + a r^5 - a r^3=\dfrac{65}{32}. Factorizăm ara r în ambele relaţii.
24 puncte
Împărţind cele două ecuaţii se obţine 1+r61+r4−r2=2041\dfrac{1+r^6}{1+r^4-r^2}=\dfrac{20}{41}, ceea ce conduce la ecuaţia în x=r2x=r^2: 41x3−20x2+20x+21=041x^3-20x^2+20x+21=0.
33 puncte
Observăm că polinomul de mai sus este pozitiv pentru orice x≥0x\ge0, deci nu există soluţie reală pozitivă pentru x=r2x=r^2. Concluzie: nu există nicio progresie geometrică reală, cu ∣r∣<1|r|<1, care să satisfacă simultan cele două condiţii; prin urmare nu există suma pătratelor termenilor unei astfel de progresii reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.