MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația sin⁡(πx23)=x2−23x+4\sin\left(\dfrac{\pi x}{2\sqrt{3}}\right)=x^2-2\sqrt{3}x+4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observaţi că partea stângă aparține intervalului [−1,1][-1,1], iar partea dreaptă este o parabolă cu deschidere în sus; calculaţi vârful parabolei: abscisa vârfului este x=3x=\sqrt{3} şi valoarea minimă este 11.
23 puncte
Din comparaţia intervalelor rezultă că pentru a avea egalitate trebuie ca ambele părţi să fie egale cu 11 (deoarece dreapta este ≥1 şi stânga ≤1).
33 puncte
Rezolvaţi sistemul format din x2−23x+4=1x^2-2\sqrt{3}x+4=1 şi sin⁡(πx23)=1\sin\left(\dfrac{\pi x}{2\sqrt{3}}\right)=1; prima ecuaţie reduce la (x−3)2=0(x-\sqrt{3})^2=0 deci x=3x=\sqrt{3}, iar substituţia în a doua verifică sin⁡(π2)=1\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
41 punct
Verificaţi unicitatea soluţiei şi concluzionaţi că mulţimea soluţiilor este {3}\{\sqrt{3}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.