MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că 1−2cos⁡2α2tan⁡(α−π4)sin⁡2(π4+α)=1\frac{1 - 2\cos^2\alpha}{2\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că 1−2cos⁡2α=−cos⁡2α1-2\cos^2\alpha=-\cos2\alpha folosind identitatea cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
24 puncte
Calculăm 2sin⁡2(π4+α)=1+sin⁡2α2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=1+\sin2\alpha deoarece sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2} şi cos⁡(π2+2α)=−sin⁡2α\cos\left(\tfrac{\pi}{2}+2\alpha\right)=-\sin2\alpha, deci denomina­torul devine tan⁡(α−π4)(1+sin⁡2α)\tan\left(\alpha-\tfrac{\pi}{4}\right)(1+\sin2\alpha).
33 puncte
Arătăm că tan⁡(α−π4)=−cos⁡2α1+sin⁡2α\tan\left(\alpha-\tfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha} (de exemplu folosind tan⁡(α−π4)=sin⁡α−cos⁡αcos⁡α+sin⁡α\tan(\alpha-\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha} şi multiplicând numitor şi numărător cu sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha+\cos\alpha). Din aceasta rezultă egalitatea cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.