MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 4sin⁡x+cos⁡x=44\sin x+\cos x=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieţi suma ca amplitudine: 4sin⁡x+cos⁡x=17sin⁡(x+φ)4\sin x+\cos x=\sqrt{17}\sin\left(x+\varphi\right), unde 17=42+12\sqrt{17}=\sqrt{4^2+1^2} şi φ=arctan⁡14\varphi=\arctan\dfrac{1}{4}.
24 puncte
Ecuaţia devine sin⁡(x+φ)=417\sin\left(x+\varphi\right)=\dfrac{4}{\sqrt{17}}; observaţi că 417∈(0,1)\dfrac{4}{\sqrt{17}}\in(0,1), deci există două familii de soluţii principale: x+φ=arcsin⁡ ⁣(417)+2kπx+\varphi=\arcsin\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)+2k\pi sau x+φ=π−arcsin⁡ ⁣(417)+2kπx+\varphi=\pi-\arcsin\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)+2k\pi.
33 puncte
Exprimaţi soluţiile: x=−φ+arcsin⁡ ⁣(417)+2kπx=-\varphi+\arcsin\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)+2k\pi şi x=−φ+π−arcsin⁡ ⁣(417)+2kπx=-\varphi+\pi-\arcsin\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}, cu φ=arctan⁡14\varphi=\arctan\dfrac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.