MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: sin⁡xsin⁡3x=12\sin x \sin 3x = \dfrac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți produs-sum sin⁡xsin⁡3x=cos⁡2x−cos⁡4x2\sin x \sin 3x = \dfrac{\cos 2x - \cos 4x}{2} şi obțineți ecuația cos⁡2x−cos⁡4x2=12\dfrac{\cos 2x - \cos 4x}{2} = \dfrac{1}{2}, adică cos⁡2x−cos⁡4x=1\cos 2x - \cos 4x = 1.
25 puncte
Folosiți identitatea cos⁡4x=2cos⁡22x−1\cos 4x = 2\cos^2 2x -1 şi înlocuiți: cos⁡2x−(2cos⁡22x−1)=1\cos 2x - (2\cos^2 2x -1)=1, rezultând cos⁡2x(1−2cos⁡2x)=0\cos 2x(1-2\cos 2x)=0, deci cos⁡2x=0\cos 2x = 0 sau cos⁡2x=12\cos 2x = \dfrac{1}{2}.
32 puncte
Rezolvați fiecare caz: din cos⁡2x=0\cos 2x=0 avem x=π4+kπ2x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}; din cos⁡2x=12\cos 2x=\dfrac{1}{2} avem x=±π6+kπx = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. Prezentați soluția generală ca reuniunea acestor familii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.