MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți SS: suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare dacă SS depășește cu 22 suma primilor trei termeni ai progresiei, iar suma primilor șase termeni este egală cu 33.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm aa și rr; din date avem S6=a(1−r6)1−r=3S_6=\dfrac{a(1-r^6)}{1-r}=3 și diferența S−S3=2S-S_3=2, dar S−S3=ar31−r=2S-S_3=\dfrac{a r^3}{1-r}=2.
24 puncte
Împărțind cele două relații obținem 1−r6r3=32\dfrac{1-r^6}{r^3}=\dfrac{3}{2}. Punând y=r3y=r^3 rezultă ecuația 2y2+3y−2=02y^2+3y-2=0, de unde y=1/2y=1/2 sau y=−2y=-2; alegem y=1/2y=1/2 deoarece ∣r∣<1|r|<1. Deci r=2−1/3r=2^{-1/3}.
33 puncte
Din ar31−r=2\dfrac{a r^3}{1-r}=2 și r3=1/2r^3=1/2 rezultă a=4(1−r)a=4(1-r), iar S=a1−r=4S=\dfrac{a}{1-r}=4. Deci S=4S=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.