MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡xsin⁡2x+cos⁡2x=sin⁡4xsin⁡5x+cos⁡4x\sin x\sin 2x + \cos^2 x = \sin 4x\sin 5x + \cos^4 x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rearanjăm termenii astfel încât să grupăm pătratele: (\cos^2 x-\cos^4 x=\cos^2 x(1-\cos^2 x)=\cos^2 x\sin^2 x). Scriem ecuația echivalent ca (\sin x\sin2x-\sin4x\sin5x+\cos^2 x\sin^2 x=0).
24 puncte
Observăm soluțiile evidente când unul din factorii trigonometrici devine zero: (\sin x=0\Rightarrow x=k\pi) și (\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi) verifică ecuația (în fiecare caz ambele membre devin egale).
33 puncte
Verificăm că nu există alte soluții prin examinarea ecuației reduse și a periodicității funcțiilor implicate; astfel singurele soluții sunt cele obținute anterior: (x=k\pi) sau (x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.