MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{x+y=3π4tan⁡x−tan⁡y=2\begin{cases} x+y=\dfrac{3\pi}{4} \\ \tan x-\tan y=2 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm S=x+y=3π4S=x+y=\dfrac{3\pi}{4} și d=x−yd=x-y. Atunci x=S+d2, y=S−d2x=\dfrac{S+d}{2},\ y=\dfrac{S-d}{2} și exprimăm diferența tangentelor în funcție de dd. \
24 puncte
Folosim formula tan⁡x−tan⁡y=sin⁡(x−y)cos⁡xcos⁡y\tan x-\tan y=\dfrac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}. Observăm că cos⁡xcos⁡y=cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)2=cos⁡S+cos⁡d2\cos x\cos y=\dfrac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}=\dfrac{\cos S+\cos d}{2} și obținem [\dfrac{\sin d}{\tfrac{\cos S+\cos d}{2}}=2.] Cu cos⁡S=cos⁡3π4=−22\cos S=\cos\tfrac{3\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} rezultă ecuația [\cos d-\sin d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.] \
34 puncte
Observăm că cos⁡d−sin⁡d=2cos⁡(d+π4)\cos d-\sin d=\sqrt{2}\cos\bigl(d+\tfrac{\pi}{4}\bigr), deci cos⁡(d+π4)=12\cos\bigl(d+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{1}{2}. Urmează d+π4=±π3+2kπd+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, deci [d=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\quad\text{ori}\quad d=-\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi.] Prin urmare soluțiile sunt [x=\dfrac{3\pi/4+d}{2},\ y=\dfrac{3\pi/4-d}{2}] cu dd din cele două familii anterioare, pentru orice k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.