MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: cos⁡x−3sin⁡x=cos⁡3x\cos x - \sqrt{3}\sin x = \cos 3x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Reprezentaţi partea stângă ca amplitudine: cos⁡x−3sin⁡x=2cos⁡(x+π3)\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right) (deoarece 12+(3)2=2\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2 şi faza este π3\tfrac{\pi}{3}). Puneţi t=x+π3t=x+\tfrac{\pi}{3}.
24 puncte
Observaţi cos⁡3x=cos⁡(3t−π)=−cos⁡3t\cos 3x=\cos(3t-\pi)=-\cos 3t, deci ecuaţia devine 2cos⁡t=−cos⁡3t2\cos t=-\cos 3t, adică cos⁡3t+2cos⁡t=0\cos 3t+2\cos t=0. Folosiţi identitatea cos⁡3t=4cos⁡3t−3cos⁡t\cos 3t=4\cos^3 t-3\cos t pentru a obţine cos⁡t(4cos⁡2t−1)=0\cos t(4\cos^2 t-1)=0, deci cos⁡t=0\cos t=0 sau cos⁡t=±12\cos t=\pm\tfrac{1}{2}.
33 puncte
Determinaţi xx: pentru cos⁡t=0\cos t=0 avem t=π2+kπ⇒x=π6+kπt=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}+k\pi; pentru cos⁡t=12\cos t=\tfrac{1}{2} avem t=±π3+2kπ⇒x=0+2kπt=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=0+2k\pi şi x=−2π3+2kπx=-\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi; pentru cos⁡t=−12\cos t=-\tfrac{1}{2} avem t=±2π3+2kπ⇒x=π3+2kπt=\pm\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi şi x=π+2kπx=\pi+2k\pi. Reuniţi soluţiile cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.