MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 2sin⁡2x+4⋅2cos⁡2x=62^{\sin^2 x} + 4\cdot 2^{\cos^2 x} = 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1 şi notați a=2sin⁡2xa=2^{\sin^2 x}, b=2cos⁡2xb=2^{\cos^2 x}. Atunci ab=2sin⁡2x+cos⁡2x=2ab=2^{\sin^2 x+\cos^2 x}=2.
24 puncte
Înlocuiți b=2/ab=2/a în ecuație: a+4⋅2a=6⇒a2−6a+8=0⇒(a−2)(a−4)=0a+4\cdot\dfrac{2}{a}=6\Rightarrow a^2-6a+8=0\Rightarrow (a-2)(a-4)=0, deci a=2a=2 sau a=4a=4.
33 puncte
Din a=2sin⁡2xa=2^{\sin^2 x} rezultă pentru a=2a=2 că 2sin⁡2x=2⇒sin⁡2x=1⇒sin⁡x=±1⇒x=π2+kπ2^{\sin^2 x}=2\Rightarrow \sin^2 x=1\Rightarrow \sin x=\pm1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Soluţia a=4a=4 este imposibilă deoarece sin⁡2x≤1\sin^2 x\le1 ar necesita sin⁡2x=2\sin^2 x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.