MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡0.1(sin⁡2x)+log⁡(cos⁡x)−log⁡7=0\log_{0.1}\left(\sin 2x\right)+\log\left(\cos x\right)-\log 7=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că log⁡0.1a=log⁡alog⁡0.1=−log⁡a\log_{0.1} a=\dfrac{\log a}{\log 0.1}= -\log a, deci ecuația devine −log⁡(sin⁡2x)+log⁡(cos⁡x)−log⁡7=0-\log(\sin 2x)+\log(\cos x)-\log 7=0. Domeniul: sin⁡2x>0\sin 2x>0, cos⁡x>0\cos x>0.
24 puncte
Combinăm logaritmii: log⁡(cos⁡x7sin⁡2x)=0⇒cos⁡x7sin⁡2x=1\log\left(\dfrac{\cos x}{7\sin 2x}\right)=0\Rightarrow \dfrac{\cos x}{7\sin 2x}=1. Cu sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x și presupunând cos⁡x≠0\cos x\neq0 rezultă 1=14sin⁡x⇒sin⁡x=1141=14\sin x\Rightarrow \sin x=\tfrac{1}{14}.
33 puncte
Eliminăm soluțiile pentru care cos⁡x≤0\cos x\le0. Din cele două familii pentru sin⁡x=114\sin x=\tfrac{1}{14} doar x=arcsin⁡(114)+2kπx=\arcsin\left(\tfrac{1}{14}\right)+2k\pi au cos⁡x>0\cos x>0 și satisfac sin⁡2x>0\sin 2x>0. Soluțiile: x=arcsin⁡(114)+2kπx=\arcsin\left(\tfrac{1}{14}\right)+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.