MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Calculați valoarea expresiei sin⁡(7π2−2α)⋅cos⁡(6π2−α)⋅sin⁡α\sin\left(\tfrac{7\pi}{2}-2\alpha\right)\cdot\cos\left(\tfrac{6\pi}{2}-\alpha\right)\cdot\sin\alpha pentru α=3π16\alpha=\tfrac{3\pi}{16}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Reduceți unghiurile folosind periodicitatea. Avem sin⁡(7π2−2α)=sin⁡(3π+π2−2α)=−sin⁡(π2−2α)=−cos⁡2α\sin\left(\tfrac{7\pi}{2}-2\alpha\right)=\sin\left(3\pi+\tfrac{\pi}{2}-2\alpha\right)=-\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-2\alpha\right)=-\cos2\alpha, iar cos⁡(6π2−α)=cos⁡(3π−α)=cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos\left(\tfrac{6\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(3\pi-\alpha)=\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.
24 puncte
Produsul devine (−cos⁡2α)(−cos⁡α)sin⁡α=cos⁡2αcos⁡αsin⁡α(-\cos2\alpha)(-\cos\alpha)\sin\alpha=\cos2\alpha\cos\alpha\sin\alpha. Folosind sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\sin2\alpha şi sin⁡2αcos⁡2α=12sin⁡4α\sin2\alpha\cos2\alpha=\tfrac{1}{2}\sin4\alpha obșineți expresia egală cu 14sin⁡4α\tfrac{1}{4}\sin4\alpha.
33 puncte
Pentru α=3π16\alpha=\tfrac{3\pi}{16} avem 14sin⁡(4⋅3π16)=14sin⁡(3π4)=14⋅22=28\tfrac{1}{4}\sin\left(4\cdot\tfrac{3\pi}{16}\right)=\tfrac{1}{4}\sin\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.