MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că 2cos⁡22α+3sin⁡4α−12sin⁡22α+3sin⁡4α−1=sin⁡(4α+30∘)sin⁡(4α−30∘)\dfrac{2\cos^22\alpha+\sqrt{3}\sin4\alpha-1}{2\sin^22\alpha+\sqrt{3}\sin4\alpha-1}=\dfrac{\sin(4\alpha+30^{\circ})}{\sin(4\alpha-30^{\circ})}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosiţi identităţile dublei unghiuri: 2cos⁡22α−1=cos⁡4α2\cos^22\alpha-1=\cos4\alpha şi 2sin⁡22α−1=−cos⁡4α2\sin^22\alpha-1=-\cos4\alpha, astfel numărătorul devine cos⁡4α+3sin⁡4α\cos4\alpha+\sqrt{3}\sin4\alpha şi numitorul devine 3sin⁡4α−cos⁡4α\sqrt{3}\sin4\alpha-\cos4\alpha. \
24 puncte
Dezvoltaţi sin⁡(4α±30∘)\sin(4\alpha\pm30^{\circ}) cu formula sumei: sin⁡(4α±30∘)=sin⁡4αcos⁡30∘±cos⁡4αsin⁡30∘\sin(4\alpha\pm30^{\circ})=\sin4\alpha\cos30^{\circ}\pm\cos4\alpha\sin30^{\circ} şi folosiţi cos⁡30∘=32\cos30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2} pentru a obţine aceleaşi expresii ca la pasul anterior, arătând egalitatea fracţiilor. \
32 puncte
Verificaţi condiţiile de existenţă (denominatori nenuli) şi concluzionaţi identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.