MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x=3cos⁡3 ⁣(x2)=cos⁡4(2x)\begin{cases}\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 3\\\cos^3\!\left(\tfrac{x}{2}\right) = \cos^4(2x)\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că pentru orice unghi avem cos⁡t≤1\cos t\le 1, deci suma cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x=3\cos x+\cos2x+\cos3x=3 impune cos⁡x=cos⁡2x=cos⁡3x=1\cos x=\cos2x=\cos3x=1, de unde x=2kπx=2k\pi.
24 puncte
Înlocuiți x=2kπx=2k\pi în a doua ecuație: cos⁡3 ⁣(kπ)=cos⁡4(4kπ)=1\cos^3\!\left(k\pi\right)=\cos^4(4k\pi)=1, deci cos⁡(kπ)=(−1)k\cos(k\pi)=(-1)^k trebuie să satisfacă (−1)k=1(-1)^k=1, rezultând kk par.
33 puncte
Concluzie: toate soluțiile sunt x=4mπx=4m\pi, m∈Zm\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.