MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 3cot⁡x−3tan⁡x+4sin⁡2x=03\cot x - 3\tan x + 4\sin 2x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați în funcţii de sin⁡\sin şi cos⁡\cos: 3cot⁡x−3tan⁡x=3cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=3cos⁡2xsin⁡xcos⁡x3\cot x-3\tan x=3\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\dfrac{3\cos 2x}{\sin x\cos x} şi 4sin⁡2x=8sin⁡xcos⁡x4\sin 2x=8\sin x\cos x. Egalând la zero şi multiplicând cu sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x (observaţi condiţia sin⁡xcos⁡x≠0\sin x\cos x\neq0) se obţine 3cos⁡2x+8sin⁡2xcos⁡2x=03\cos 2x+8\sin^2 x\cos^2 x=0.
23 puncte
Folosiţi sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡22x=14(1−cos⁡22x)\sin^2 x\cos^2 x=\tfrac{1}{4}\sin^2 2x=\tfrac{1}{4}(1-\cos^2 2x). Obţineţi 3cos⁡2x+2(1−cos⁡22x)=03\cos 2x+2(1-\cos^2 2x)=0, adică 2cos⁡22x−3cos⁡2x−2=02\cos^2 2x-3\cos 2x-2=0.
34 puncte
Rezolvaţi ca pe o ecuaţie cuadratică în C=cos⁡2xC=\cos 2x: 2C2−3C−2=02C^2-3C-2=0 are rădăcini C=2C=2 (imposibil) şi C=−12C=-\tfrac{1}{2}. Din cos⁡2x=−12\cos 2x=-\tfrac{1}{2} avem 2x=2π3+2kπ2x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi sau 2x=4π3+2kπ2x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi, deci x=π3+kπx=\tfrac{\pi}{3}+k\pi şi x=2π3+kπx=\tfrac{2\pi}{3}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificaţi că soluţiile nu anulează sin⁡x\sin x sau cos⁡x\cos x (nu sunt excluse), deci sunt admise.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.