MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 2sin⁡2xsin⁡4x−cos⁡2x=sin⁡3x2\sin 2x \sin 4x - \cos 2x = \sin 3x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea 2sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). Astfel 2sin⁡2xsin⁡4x=cos⁡2x−cos⁡6x2\sin 2x\sin 4x=\cos 2x-\cos 6x, deci expresia la stânga devine cos⁡2x−cos⁡6x−cos⁡2x=−cos⁡6x\cos 2x-\cos 6x-\cos 2x=-\cos 6x. Se obține ecuația −cos⁡6x=sin⁡3x-\cos 6x=\sin 3x.
23 puncte
Scrieți cos⁡6x=cos⁡(2⋅3x)=1−2sin⁡23x\cos 6x=\cos(2\cdot 3x)=1-2\sin^2 3x; înlocuind în ecuație se obține −(1−2sin⁡23x)=sin⁡3x-(1-2\sin^2 3x)=\sin 3x, adică 2sin⁡23x−sin⁡3x−1=02\sin^2 3x-\sin 3x-1=0. Rezolvați ca pe o ecuație cuadratică în y=sin⁡3xy=\sin 3x: 2y2−y−1=02y^2-y-1=0.
34 puncte
Determinați rădăcinile y=1y=1 şi y=−12y=-\tfrac{1}{2}. Din sin⁡3x=1\sin 3x=1 rezultă 3x=π2+2kπ⇒x=π6+2kπ33x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2k\pi}{3}. Din sin⁡3x=−12\sin 3x=-\tfrac{1}{2} rezultă 3x=7π6+2kπ3x=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi sau 3x=11π6+2kπ3x=\tfrac{11\pi}{6}+2k\pi, adică x=7π18+2kπ3x=\tfrac{7\pi}{18}+\tfrac{2k\pi}{3} şi x=11π18+2kπ3x=\tfrac{11\pi}{18}+\tfrac{2k\pi}{3}, cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.