MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: sin⁡x1+cos⁡x=2−cot⁡x\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=2-\cot x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea tan⁡x2=sin⁡x1+cos⁡x\tan\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}. Notăm u=tan⁡x2u=\tan\dfrac{x}{2}, atunci ecuația devine u=2−1−u22uu=2-\dfrac{1-u^2}{2u} (deoarece cot⁡x=1−u22u\cot x=\dfrac{1-u^2}{2u}).
24 puncte
După înmulțire și transformare obținem ecuația cuadratică u2−4u+1=0u^2-4u+1=0, cu soluții u=2±3u=2\pm\sqrt{3}.
33 puncte
Revenind la xx, avem tan⁡x2=2−3=tan⁡π12\tan\dfrac{x}{2}=2-\sqrt{3}=\tan\dfrac{\pi}{12} sau tan⁡x2=2+3=tan⁡5π12\tan\dfrac{x}{2}=2+\sqrt{3}=\tan\dfrac{5\pi}{12}. Deci x2=π12+kπ\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{12}+k\pi sau x2=5π12+kπ\dfrac{x}{2}=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi, de unde x=π6+2kπx=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi sau x=5π6+2kπx=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificați și excludeți valorile pentru care expresiile inițiale nu sunt definite (în special cos⁡x=−1\cos x=-1 sau sin⁡x=0\sin x=0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.