MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log⁡x(2a−x)log⁡x2+log⁡axlog⁡a2=1(log⁡a2−12)2\dfrac{\log_x(2a - x)}{\log_x 2} + \dfrac{\log_a x}{\log_a 2} = \dfrac{1}{(\log_{a^2-1} 2)^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi identitatea log⁡bAlog⁡bC=log⁡CA\dfrac{\log_b A}{\log_b C}=\log_C A pentru primele două termene: acestea devin log⁡2(2a−x)+log⁡2x=log⁡2(x(2a−x))\log_2(2a-x)+\log_2 x=\log_2\big(x(2a-x)\big). De asemenea observaţi că 1log⁡a2−12=log⁡2(a2−1)\dfrac{1}{\log_{a^2-1}2}=\log_2(a^2-1), deci partea dreaptă este (log⁡2(a2−1))2\big(\log_2(a^2-1)\big)^2.
24 puncte
Ecuaţia devine log⁡2(x(2a−x))=(log⁡2(a2−1))2\log_2\big(x(2a-x)\big)=\big(\log_2(a^2-1)\big)^2. Observaţi că alegerea x=a±1x=a\pm1 dă x(2a−x)=a2−1x(2a-x)=a^2-1, deci atunci ecuaţia devine log⁡2(a2−1)=(log⁡2(a2−1))2\log_2(a^2-1)=(\log_2(a^2-1))^2, adică t=t2t=t^2 pentru t=log⁡2(a2−1)t=\log_2(a^2-1).
33 puncte
Din t=t2t=t^2 avem t∈{0,1}t\in\{0,1\}. Condiţia de existenţă a logaritmului de pe partea dreaptă impune a2−1>0a^2-1>0 şi a2−1≠1a^2-1\neq1, astfel t=0t=0 (adică a2−1=1a^2-1=1) este imposibilă deoarece ar face baza egală cu 11. Rămâne t=1t=1, adică a2−1=2⇒a=3a^2-1=2\Rightarrow a=\sqrt{3} (trebuie a>0a>0 pentru logaritm). Atunci soluţiile pentru xx sunt x=a±1=3±1x= a\pm1=\sqrt{3}\pm1, care satisfac condiţiile de definiţie. Soluţii: pentru a=3a=\sqrt{3}, x=3±1x=\sqrt{3}\pm1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.