MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii Geometrice
Termenii unei progresii geometrice pozitive sunt a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5. Știindu-se că a1−a5=15a_1-a_5=15 și a1+a3=20a_1+a_3=20, calculați suma primilor cinci termeni S5S_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rația comună rr. Scriem a3=a1r2a_3=a_1r^2 și a5=a1r4a_5=a_1r^4 și transcriem condițiile ca a1−a1r4=15a_1-a_1r^4=15 și a1+a1r2=20a_1+a_1r^2=20.
24 puncte
Din a doua ecuație a1(1+r2)=20⇒a1=201+r2a_1(1+r^2)=20\Rightarrow a_1=\dfrac{20}{1+r^2}. În prima ecuație înlocuim: 201+r2(1−r4)=15\dfrac{20}{1+r^2}(1-r^4)=15. Observăm că 1−r4=(1−r2)(1+r2)1-r^4=(1-r^2)(1+r^2), deci 20(1−r2)=15⇒1−r2=3/4⇒r2=1/420(1-r^2)=15\Rightarrow 1-r^2=3/4\Rightarrow r^2=1/4. Deoarece termenii sunt pozitivi rezultă r=1/2r=1/2.
33 puncte
Calculăm a1=201+1/4=16a_1=\dfrac{20}{1+1/4}=16. Termenii sunt 16,8,4,2,116,8,4,2,1 și S5=16+8+4+2+1=31S_5=16+8+4+2+1=31 (sau folosind formula sumei geometrice S5=a11−r51−r=161−(1/2)51−1/2=31S_5=a_1\dfrac{1-r^5}{1-r}=16\dfrac{1-(1/2)^5}{1-1/2}=31).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.