MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Calculați tan⁡9∘−tan⁡63∘+tan⁡81∘−tan⁡27∘\tan9^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ-\tan27^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea tan⁡θ+cot⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=2sin⁡2θ\tan\theta+\cot\theta=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\dfrac{2}{\sin2\theta}. Prin observație avem tan⁡9∘+tan⁡81∘=tan⁡9∘+cot⁡9∘=2sin⁡18∘\tan9^\circ+\tan81^\circ=\tan9^\circ+\cot9^\circ=\dfrac{2}{\sin18^\circ} şi tan⁡27∘+tan⁡63∘=tan⁡27∘+cot⁡27∘=2sin⁡54∘\tan27^\circ+\tan63^\circ=\tan27^\circ+\cot27^\circ=\dfrac{2}{\sin54^\circ}.
23 puncte
Rescrie expresia ca diferență: 2sin⁡18∘−2sin⁡54∘\dfrac{2}{\sin18^\circ}-\dfrac{2}{\sin54^\circ}.
34 puncte
Folosiți valorile exacte sin⁡18∘=5−14\sin18^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}, sin⁡54∘=5+14\sin54^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4} pentru a obșine 2sin⁡18∘=2(5+1)\dfrac{2}{\sin18^\circ}=2(\sqrt{5}+1) şi 2sin⁡54∘=2(5−1)\dfrac{2}{\sin54^\circ}=2(\sqrt{5}-1); diferența este 44. Astfel expresia are valoarea 44.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.