MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Rezolvați ecuația: sin⁡6x+cos⁡6x=716\sin^6 x + \cos^6 x = \dfrac{7}{16}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea u3+v3=(u+v)3−3uv(u+v)u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v) cu u=sin⁡2xu=\sin^2 x, v=cos⁡2xv=\cos^2 x pentru a obține sin⁡6x+cos⁡6x=1−3sin⁡2xcos⁡2x\sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x.
23 puncte
Din ecuație rezultă 1−3sin⁡2xcos⁡2x=7161-3\sin^2 x\cos^2 x=\dfrac{7}{16}, deci sin⁡2xcos⁡2x=316\sin^2 x\cos^2 x=\dfrac{3}{16}. Observăm că sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡22x\sin^2 x\cos^2 x=\dfrac{1}{4}\sin^2 2x, deci sin⁡22x=34\sin^2 2x=\dfrac{3}{4}.
34 puncte
Rezolvați sin⁡2x=±32\sin 2x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Astfel 2x=π3+2kπ,  2π3+2kπ,  4π3+2kπ,  5π3+2kπ2x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\;\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\;\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\;\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi. Prin urmare x=π6+kπ,  π3+kπ,  2π3+kπ,  5π6+kπx=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\;\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\;\dfrac{2\pi}{3}+k\pi,\;\dfrac{5\pi}{6}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.