MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Transformați în produs expresia sin⁡(5α+β)+sin⁡(3α+β)+sin⁡2α\sin(5\alpha+\beta)+\sin(3\alpha+\beta)+\sin 2\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicaţi identitatea sin⁡X+sin⁡Y=2sin⁡X+Y2cos⁡X−Y2\sin X+\sin Y=2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2} pentru primele două termene: sin⁡(5α+β)+sin⁡(3α+β)=2sin⁡(4α+β)cos⁡α\sin(5\alpha+\beta)+\sin(3\alpha+\beta)=2\sin(4\alpha+\beta)\cos\alpha;
24 puncte
Scrieţi sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha şi factorizaţi 2cos⁡α2\cos\alpha, obţinând 2cos⁡α(sin⁡(4α+β)+sin⁡α)2\cos\alpha\bigl(\sin(4\alpha+\beta)+\sin\alpha\bigr); aplicaţi din nou suma-în-produs pentru suma din paranteză;
32 puncte
Prezentaţi forma finală ca produs, de exemplu 4cos⁡αsin⁡5α+β2cos⁡3α+β24\cos\alpha\sin\dfrac{5\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{3\alpha+\beta}{2} şi verificaţi echivalenţa cu paşii anteriori.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.