Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
Rezolvați ecuația: log3x+7(9+12x+4x2)+log2x+3(6x2+23x+21)=4\log_{3x+7}\bigl(9 + 12x + 4x^2\bigr) + \log_{2x+3}\bigl(6x^2 + 23x + 21\bigr) = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: bazele şi argumentele logaritmilor trebuie pozitive şi bazele diferite de 11: 3x+7>03x+7>0, 2x+3>02x+3>0, şi expresiile din logaritmi pozitive.
23 puncte
Observăm factorizările 9+12x+4x2=(2x+3)29+12x+4x^2=(2x+3)^2 şi 6x2+23x+21=(2x+3)(3x+7)6x^2+23x+21=(2x+3)(3x+7); rescriem ecuaţia folosind proprietăţi ale logaritmilor: 2log3x+7(2x+3)+1+log2x+3(3x+7)=42\log_{3x+7}(2x+3)+1+\log_{2x+3}(3x+7)=4.
33 puncte
Notăm t=log3x+7(2x+3)t=\log_{3x+7}(2x+3); atunci log2x+3(3x+7)=1/t\log_{2x+3}(3x+7)=1/t şi ecuaţia devine 2t+1/t=32t+1/t=3, rezultând t=1t=1 sau t=12t=\tfrac12.
42 puncte
Revenim la xx: pentru t=1t=1 baza devine 11 (imposibil), pentru t=12t=\tfrac12 obţinem 3x+7=(2x+3)23x+7=(2x+3)^2 care duce la x=14x=-\tfrac14 şi x=2x=-2, iar verificarea reţine doar x=14x=-\tfrac14 (pentru x=2x=-2 baza 3x+7=13x+7=1). Soluţia: x=14x=-\tfrac14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.