MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡2(2+3x)+cos⁡2(π4+2x)=cos⁡2(2−5x)+sin⁡2(π4−6x)\sin^2(2+3x)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}+2x\right)=\cos^2(2-5x)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-6x\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Convertim cosinusii în pătrate de sinus folosind (\cos^2 t=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)). Ecuația devine (\sin^2(2+3x)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right)=\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-2+5x\right)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}-6x\right)).
24 puncte
Utilizăm identitatea (\sin^2A-\sin^2B=\sin(A+B)\sin(A-B)) pentru a obține, după simplificări, factorul comun (\cos8x) și expresia (\sin\bigl(4-\dfrac{\pi}{2}-2x\bigr)+\sin4x). Concret se obține echivalentul (\cos8x\bigl(\sin(4-\tfrac{\pi}{2}-2x)+\sin4x\bigr)=0).
34 puncte
Factori suplimentari se descompun astfel încât soluțiile sunt date de: (\cos8x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{k\pi}{8}), (\sin\bigl(2-\tfrac{\pi}{4}+x\bigr)=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}-2+k\pi), și (\cos\bigl(2-\tfrac{\pi}{4}-3x\bigr)=0\Rightarrow x=\dfrac{8-3\pi}{12}-\dfrac{k\pi}{3}). Reuniunea acestor familii reprezintă mulțimea soluțiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.