MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: {sin⁡2x+sin⁡22x=sin⁡23x,cos⁡x<−12.\begin{cases} \sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x,\\ \cos x< -\tfrac12. \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm în funcție de s=sin⁡xs=\sin x: sin⁡22x=4s2(1−s2)\sin^2 2x=4s^2(1-s^2) şi sin⁡23x=(3s−4s3)2\sin^2 3x=(3s-4s^3)^2. Ecuația devine 4s2(1−s2)+s2=(3s−4s3)24s^2(1-s^2)+s^2=(3s-4s^3)^2, care se reduce la 4s2(1−5s2+4s4)=04s^2(1-5s^2+4s^4)=0.
23 puncte
Rezultă s2∈{0,14,1}s^2\in\{0,\tfrac14,1\}, deci sin⁡x=0, sin⁡x=±12, sin⁡x=±1\sin x=0,\ \sin x=\pm\tfrac12,\ \sin x=\pm1.
33 puncte
Aplicăm condiția suplimentară cos⁡x<−12\cos x< -\tfrac12 şi reținem doar unghiurile care satisfac aceasta: din sin⁡x=0\sin x=0 rămâne x=π+2kπx=\pi+2k\pi; din sin⁡2x=1\sin^2 x=1 (adică sin⁡=±1\sin=\pm1) nu apar soluții noi cu cosina suficient de mică (,de fapt cos⁡=0\cos=0 pentru ±1\pm1); din sin⁡x=±12\sin x=\pm\tfrac12 rămân unghiurile x=5π6+2kπx=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi şi x=7π6+2kπx=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi. Concluzie: x=π+2kπx=\pi+2k\pi, x=5π6+2kπx=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi, x=7π6+2kπx=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.