MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡x−2x+7x−2≤log⁡x−2(2x)\log_{x-\sqrt{2}}\displaystyle\frac{x+7}{x-2}\le\log_{x-\sqrt{2}}(2x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: baza x−2>0⇒x>2x-\sqrt{2}>0\Rightarrow x>\sqrt{2}, x≠2+1x\neq\sqrt{2}+1; argumentele pozitive: x+7x−2>0\dfrac{x+7}{x-2}>0 şi 2x>0⇒x>02x>0\Rightarrow x>0. Din aceste condiţii rezultă domeniul comun x>2x>2, cu excluderea lui x=2+1x=\sqrt{2}+1.;
22 puncte
Analiza bazei: pentru 2<x<2+12<x<\sqrt{2}+1 baza este în (0,1)(0,1) iar pentru x>2+1x>\sqrt{2}+1 baza este >1>1, deci semnul inegalităţii se păstrează sau se inversează corespunzător. ;
33 puncte
Rezolvarea algebrică: pentru 2<x<2+12<x<\sqrt{2}+1 inegalitatea echivalentă (după schimbarea sensului) cu x+7x−2≥2x  ⟺  2x2−5x−7≤0\dfrac{x+7}{x-2}\ge2x\iff 2x^2-5x-7\le0, de unde toată porţiunea (2,2+1)(2,\sqrt{2}+1) satisface; pentru x>2+1x>\sqrt{2}+1 avem x+7x−2≤2x  ⟺  2x2−5x−7≥0\dfrac{x+7}{x-2}\le2x\iff 2x^2-5x-7\ge0, soluţie în domeniu x≥72x\ge\tfrac{7}{2}.;
42 puncte
Reuniunea şi exprimarea finală: (2,2+1)∪[72,∞)\displaystyle(2,\sqrt{2}+1)\cup\left[\tfrac{7}{2},\infty\right), cu excluderea lui x=2+1x=\sqrt{2}+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.