MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Găsiți toate rădăcinile ecuației (1−cos⁡2x)sin⁡2x=3sin⁡2x(1 - \cos 2x) \sin 2x = \sqrt{3} \sin^2 x care se află în intervalul [−π,π/3][-\pi, \pi/3].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2 x. Ecuația devine 2sin⁡2xsin⁡2x=3sin⁡2x2\sin^2 x\sin 2x=\sqrt{3}\sin^2 x, adică sin⁡2x(2sin⁡2x−3)=0\sin^2 x(2\sin 2x-\sqrt{3})=0.
23 puncte
Din sin⁡2x=0\sin^2 x=0 rezultă sin⁡x=0⇒x=kπ\sin x=0\Rightarrow x=k\pi. În intervalul dat: x=−π,  0x=-\pi,\;0.
34 puncte
Din 2sin⁡2x−3=02\sin 2x-\sqrt{3}=0 avem sin⁡2x=32\sin 2x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, deci 2x=π3+2kπ2x=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi sau 2x=2π3+2kπ2x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi, adică x=π6+kπx=\tfrac{\pi}{6}+k\pi sau x=π3+kπx=\tfrac{\pi}{3}+k\pi. Alegem kk astfel încât x∈[−π,π3]x\in[-\pi,\tfrac{\pi}{3}], obţinând: x=−5π6, −2π3, π6, π3x=-\tfrac{5\pi}{6},\,-\tfrac{2\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{3}. Concluzie: toate rădăcinile din interval sunt x∈{−π,−5π6,−2π3,0,π6,π3}x\in\{-\pi,-\tfrac{5\pi}{6},-\tfrac{2\pi}{3},0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.