MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{tan⁡x+tan⁡y=2cos⁡xcos⁡y=12\begin{cases} \tan x + \tan y = 2\\ \cos x\cos y = \dfrac{1}{2} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observăm identitatea tan⁡x+tan⁡y=sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y\tan x+\tan y=\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}. Din prima ecuație rezultă sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y=2\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}=2 şi, folosind cos⁡xcos⁡y=12\cos x\cos y=\dfrac12, obţinem sin⁡(x+y)=1\sin(x+y)=1, deci x+y=π2+2kπx+y=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.\
24 puncte
Din y=π2+2kπ−xy=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi-x rezultă cos⁡y=sin⁡x\cos y=\sin x. Din cos⁡xcos⁡y=12\cos x\cos y=\dfrac12 obţinem cos⁡xsin⁡x=12⇒12sin⁡2x=12\cos x\sin x=\dfrac12\Rightarrow\dfrac{1}{2}\sin2x=\dfrac12, deci sin⁡2x=1\sin2x=1 şi x=π4+nπx=\dfrac{\pi}{4}+n\pi, n∈Zn\in\mathbb{Z}.\
32 puncte
Determinăm yy din x+y=π2+2kπx+y=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi: y=π4+2kπ−nπy=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi - n\pi. Se poate scrie compact: x=π4+nπ,y=π4+nπ+2mπ,n,m∈Z,x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\quad y=\dfrac{\pi}{4}+n\pi+2m\pi,\quad n,m\in\mathbb{Z}, ceea ce echivalează cu x=π4+nπx=\dfrac{\pi}{4}+n\pi, y=x+2mπy=x+2m\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.