MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 3log⁡2/3x+x⋅log⁡3x=1623^{\log_{2/3} x} + x\cdot\log_{3} x = 162.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: x>0x>0. Faceți schimbarea de variabilă t=log⁡3xt=\log_{3} x, astfel x=3tx=3^{t}. Folosind proprietatea alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_{b} c}=c^{\log_{b} a} se obține 3log⁡2/3x=xlog⁡2/33=3t⋅log⁡2/333^{\log_{2/3} x}=x^{\log_{2/3}3}=3^{t\cdot\log_{2/3}3}.
24 puncte
Ecuația devine 3tlog⁡3(2/3)+3tt=1623^{\dfrac{t}{\log_{3}(2/3)}} + 3^{t}t =162. Observați că prima componentă este de ordin mult mai mic pentru tt în regiunea de interes, iar funcția stângă este strict crescătoare, deci există o singură soluție reală.
33 puncte
Determinați numeric soluția: din calcul numeric se obține t≈3.494t\approx 3.494 şi atunci x=3t≈46.5x=3^{t}\approx 46.5. Concluzie: soluția aproximativă este x≈46.5x\approx46.5 (o singură soluție reală).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.