MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Raportul dintre suma cuburilor termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare și suma pătratelor termenilor ei este 12:1312:13. Suma primilor doi termeni ai progresiei este egală cu 43\tfrac{4}{3}. Determinați progresia (primul termen și rația).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notați primul termen aa și rația rr cu ∣r∣<1|r|<1. Sumele sunt S3=a31−r3S_{3}=\dfrac{a^3}{1-r^3} și S2=a21−r2S_{2}=\dfrac{a^2}{1-r^2}. Raportul dă: S3S2=a(1−r2)1−r3=1213\dfrac{S_{3}}{S_{2}}=\dfrac{a(1-r^2)}{1-r^3}=\dfrac{12}{13}. Observă că 1−r21−r3=1+r1+r+r2\dfrac{1-r^2}{1-r^3}=\dfrac{1+r}{1+r+r^2}, deci a1+r1+r+r2=1213a\dfrac{1+r}{1+r+r^2}=\dfrac{12}{13}.
24 puncte
Din suma primilor doi termeni a(1+r)=43a(1+r)=\tfrac{4}{3}. Folosind aceasta, 4/31+r+r2=1213\dfrac{4/3}{1+r+r^2}=\dfrac{12}{13}, deci 1+r+r2=1391+r+r^2=\dfrac{13}{9}. Rezolvați r2+r+1=13/9⇒9r2+9r−4=0r^2+r+1=13/9\Rightarrow9r^2+9r-4=0, rezultă r=13r=\tfrac{1}{3} (se respinge r=−4/3r=-4/3 deoarece ∣r∣<1|r|<1).
32 puncte
Din a(1+r)=4/3a(1+r)=4/3 cu r=1/3r=1/3 rezultă a=1a=1. Progresia este 1,13,19,…1,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},\dots.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.