MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația cos⁡4(x5)+sin⁡2(2x5)=1\cos^4\left(\dfrac{x}{5}\right)+\sin^2\left(\dfrac{2x}{5}\right)=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați identitatea sin⁡2(2a)=4sin⁡2acos⁡2a\sin^2(2a)=4\sin^2 a\cos^2 a; puneți t=cos⁡2(x5)t=\cos^2\left(\dfrac{x}{5}\right). Atunci ecuația devine t2+4t(1−t)=1t^2+4t(1-t)=1.
23 puncte
Reduceți și rezolvați cuadratica: t2+4t−4t2=1⇒−3t2+4t−1=0⇒3t2−4t+1=0⇒(3t−1)(t−1)=0t^2+4t-4t^2=1\Rightarrow -3t^2+4t-1=0\Rightarrow 3t^2-4t+1=0\Rightarrow (3t-1)(t-1)=0, deci t=1t=1 sau t=13t=\dfrac{1}{3}.
34 puncte
Revenind la xx, pentru cos⁡2(x5)=1\cos^2\left(\dfrac{x}{5}\right)=1 avem x5=kπ⇒x=5kπ\dfrac{x}{5}=k\pi\Rightarrow x=5k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Pentru cos⁡2(x5)=13\cos^2\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac{1}{3} avem x5=±arccos⁡(13)+2kπ\dfrac{x}{5}=\pm\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+2k\pi sau echivalent x5=π±arccos⁡(13)+2kπ\dfrac{x}{5}=\pi\pm\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+2k\pi, adică soluțiile sunt x=5(±arccos⁡(13)+2kπ)x=5\left(\pm\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+2k\pi\right) și x=5(π±arccos⁡(13)+2kπ)x=5\left(\pi\pm\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+2k\pi\right), k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.