MediuDerivateClasa 12

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateIntegrale definiteSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți numerele A și B astfel încât funcția f(x)=A⋅2x+Bf(x) = A\cdot 2^x + B să satisfacă f′(1)=2f'(1) = 2 și ∫03f(x) dx=7\int_0^3 f(x)\,dx = 7.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata: f′(x)=A⋅2xln⁡2f'(x)=A\cdot 2^x\ln 2. Din condiția f′(1)=2f'(1)=2 obțineți 2Aln⁡2=2⇒A=1ln⁡22A\ln 2=2\Rightarrow A=\dfrac{1}{\ln 2}.
24 puncte
Calculați integrală: ∫03f(x) dx=A∫032x dx+3B=A23−1ln⁡2+3B=A7ln⁡2+3B\int_0^3 f(x)\,dx = A\int_0^3 2^x\,dx + 3B = A\dfrac{2^3-1}{\ln 2}+3B = A\dfrac{7}{\ln 2}+3B.
33 puncte
Înlocuiți AA și rezolvați pentru BB: 7(ln⁡2)2+3B=7⇒B=73(1−1(ln⁡2)2)\dfrac{7}{(\ln 2)^2}+3B=7\Rightarrow B=\dfrac{7}{3}\left(1-\dfrac{1}{(\ln 2)^2}\right). Rezultatul: A=1ln⁡2A=\dfrac{1}{\ln 2}, B=73(1−1(ln⁡2)2)B=\dfrac{7}{3}\left(1-\dfrac{1}{(\ln 2)^2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.