MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: ∣cot⁡x∣=cot⁡x+1sin⁡x\left|\cot x\right| = \cot x + \dfrac{1}{\sin x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniu: sin⁡x≠0\sin x\neq0.
22 puncte
Analizăm cazurile semnului lui cot⁡x\cot x. Dacă cot⁡x≥0\cot x\ge0, atunci modulul se anulează şi rămâne cot⁡x=cot⁡x+1sin⁡x⇒1sin⁡x=0\cot x=\cot x+\dfrac{1}{\sin x}\Rightarrow\dfrac{1}{\sin x}=0, imposibil.
34 puncte
Dacă cot⁡x<0\cot x<0, atunci −cot⁡x=cot⁡x+1sin⁡x⇒−2cot⁡x=1sin⁡x-\cot x=\cot x+\dfrac{1}{\sin x}\Rightarrow -2\cot x=\dfrac{1}{\sin x}. Scriem cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} şi obţinem −2cos⁡xsin⁡x=1sin⁡x⇒cos⁡x=−12-2\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin x}\Rightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2}.
43 puncte
Din condiţia suplimentară cot⁡x<0\cot x<0 rezultă sin⁡x>0\sin x>0, deci alegem soluţiile cu cosinus −1/2-1/2 şi sinus pozitiv: x=2π3+2kπx=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificare: aceste valori satisfac ecuaţia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.