MediuTrigonometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Demonstrați că inegalitatea min⁡x∈[−π,π]f(x)>−7/18\min_{x\in[-\pi,\pi]} f(x) > -7/18 este adevărată pentru funcția f(x)=cos⁡2x sin⁡xf(x) = \cos^2 x\,\sin x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că pentru t=sin⁡xt=\sin x avem t∈[−1,1]t\in[-1,1] și rescrieți funcția ca g(t)=t−t3g(t)=t-t^3 pe intervalul [−1,1][-1,1] (3 puncte).
24 puncte
Calculați derivata g′(t)=1−3t2g'(t)=1-3t^2 și determinați punctele critice t=±1/3t=\pm1/\sqrt{3}. Verificați natura extremelor cu g′′(t)=−6tg''(t)=-6t: t=−1/3t=-1/\sqrt{3} este minim global pe [−1,1][-1,1] (4 puncte).
33 puncte
Evaluați minima: g(−1/3)=−233=−239≈−0.3849g(-1/\sqrt{3})=-\dfrac{2}{3\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\approx-0.3849, iar −7/18≈−0.3889-7/18\approx-0.3889, deci min⁡x∈[−π,π]f(x)=−239>−718\min_{x\in[-\pi,\pi]}f(x)= -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}>-\dfrac{7}{18}; concluzionați inegalitatea (3 puncte).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.