MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebriceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 23(tan⁡x−cot⁡x)=tan⁡2x+cot⁡2x−2\dfrac{2}{\sqrt{3}}(\tan x-\cot x)=\tan^2 x+\cot^2 x-2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că tan⁡2x+cot⁡2x−2=(tan⁡x−cot⁡x)2\tan^2 x+\cot^2 x-2=(\tan x-\cot x)^2 deoarece tan⁡xcot⁡x=1\tan x\cot x=1. Ecuația devine (tan⁡x−cot⁡x)2−23(tan⁡x−cot⁡x)=0(\tan x-\cot x)^2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}(\tan x-\cot x)=0.
23 puncte
Punem y=tan⁡x−cot⁡xy=\tan x-\cot x. Rezultă y(y−23)=0y(y-\dfrac{2}{\sqrt{3}})=0, deci y=0y=0 sau y=23y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
34 puncte
Pentru y=0y=0 avem tan⁡x=cot⁡x⇒tan⁡2x=1\tan x=\cot x\Rightarrow\tan^2 x=1, deci tan⁡x=±1\tan x=\pm1 și soluțiile sunt x=π4+kπ2,  k∈Zx=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}. Pentru y=23y=\dfrac{2}{\sqrt{3}} folosim tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡2x\tan x-\cot x=-2\cot 2x (sau transformații echivalente) și obținem cot⁡2x=−13\cot 2x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, adică tan⁡2x=−3\tan 2x=-\sqrt{3}. Deci 2x=−π3+kπ2x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi și x=−π6+kπ2x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificați evitarea valorilor în care tangenta sau cotangenta nu sunt definite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.