MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
(1−sin⁡2x)(cos⁡x−sin⁡x)=1−2sin⁡2x (1 - \sin 2x)(\cos x - \sin x) = 1 - 2 \sin^2 x

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observaţi că dreptul este 1−2sin⁡2x=cos⁡2x1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x şi scrieţi diferenţa la stânga pentru a factoriza prin (cos⁡x−sin⁡x)(\cos x - \sin x).
23 puncte
Factorizaţi: (cos⁡x−sin⁡x)[1−sin⁡2x−(cos⁡x+sin⁡x)]=0(\cos x - \sin x)[1 - \sin 2x - (\cos x + \sin x)]=0. Prima ramură: \cos x - \sin x =0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{4} + k\pi$.
34 puncte
Pentru a doua ramură luaţi t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x. Folosind sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x şi 2sin⁡xcos⁡x=t2−12\sin x\cos x = t^2 -1 obţineţi ecuaţia t2+t−2=0t^2 + t -2=0, deci t=1t=1 sau t=−2t=-2; t=−2t=-2 imposibil. Din sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x =1 rezultă x=2kπx = 2k\pi sau x=tfracπ2+2kπx = \\tfrac{\pi}{2} + 2k\pi. Astfel soluţiile sunt x=tfracπ4+kπx = \\tfrac{\pi}{4} + k\pi, x=2kπx = 2k\pi, $x = \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi$$.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.